Puoi risolvere il classico gioco di teorie Lions e agnelli?

Puoi risolvere il classico gioco di teorie Lions e agnelli?

Quanti leoni servono per uccidere un agnello? La risposta non è semplice come si potrebbe pensare. Non, almeno, secondo la teoria dei giochi.

Teoria del gioco è un ramo della matematica che studia e predice il processo decisionale. Spesso comporta la creazione di scenari ipotetici, o "giochi", in base al quale un numero di individui chiamati "giocatori" o "agenti" può scegliere da un insieme definito di azioni in base a una serie di regole. Ogni azione avrà un "pay-off" e l'obiettivo è di solito trovare il massimo pay-off per ciascun giocatore per capire come si comporterebbe.

Questo metodo è stato utilizzato in un'ampia varietà di argomenti, tra cui economia, biologia, politica e psicologiae per aiutare a spiegare il comportamento nelle aste, nelle votazioni e nella competizione di mercato. Ma la teoria dei giochi, grazie alla sua natura, ha anche dato origine a divertenti rompicapi.

Uno dei meno famosi di questi enigmi comporta l'elaborazione di come i giocatori competeranno sulle risorse, in questo caso leoni affamati e un agnello saporito. Un gruppo di leoni vive su un'isola coperta di erba ma senza altri animali. I leoni sono identici, perfettamente razionali e consapevoli che tutti gli altri sono razionali. Sono anche consapevoli che tutti gli altri leoni sono consapevoli che tutti gli altri sono razionali e così via. Questa consapevolezza reciproca è ciò che viene definito come "sapere comune”. Fa in modo che nessun leone possa tentare una chance o cercare di superare in astuzia gli altri.

Naturalmente, i leoni sono estremamente affamati, ma non cercano di combattere l'un l'altro perché sono identici nella forza fisica e quindi inevitabilmente finiranno tutti per morire. Poiché sono tutti perfettamente razionali, ogni leone preferisce una vita affamata a una morte certa. Senza alternative, possono sopravvivere mangiando una quantità di erba praticamente illimitata, ma preferirebbero consumare qualcosa di più carnoso.

Un giorno, un agnello appare miracolosamente sull'isola. Che creatura sfortunata sembra. Eppure in realtà ha una possibilità di sopravvivere a questo inferno, a seconda del numero di leoni (rappresentato dalla lettera N). Se un leone consuma l'agnello indifeso, diventerà troppo pieno per difendersi dagli altri leoni.

Supponendo che i leoni non possano condividere, la sfida è capire se l'agnello sopravviverà o meno a seconda del valore di N. O, per dirla in altro modo, qual è la migliore linea d'azione per ogni leone - a mangiare l'agnello o non mangiare l'agnello - a seconda di quanti altri ci sono nel gruppo.

La soluzione

Questo tipo di problema di teoria dei giochi, in cui è necessario trovare una soluzione per un valore generale di N (dove N è un numero intero positivo), è un buon modo di testare la logica dei teorici di gioco e di dimostrare come funziona l'induzione all'indietro. L'induzione logica implica l'uso di prove per formare una conclusione che è probabilmente vera. Induzione a ritroso è un modo per trovare una risposta ben definita a un problema tornando, passo dopo passo, al caso di base, che può essere risolto con un semplice argomento logico.

Nel gioco dei leoni, il caso base sarebbe N = 1. Se ci fosse solo un leone affamato sull'isola non esiterebbe a mangiare l'agnello, poiché non ci sono altri leoni per competere con esso.

Ora vediamo cosa succede nel caso di N = 2. Entrambi i leoni concludono che se uno di loro mangia l'agnello e diventa troppo pieno per difendersi, sarebbe mangiato dall'altro leone. Di conseguenza, nessuno dei due avrebbe tentato di mangiare l'agnello e tutti e tre gli animali avrebbero vissuto felici insieme mangiando l'erba sull'isola (se si vive una vita unicamente dipendente dalla razionalità di due leoni affamati si può dire felici).

Per N = 3, se uno dei leoni mangia l'agnello (diventando in effetti un agnello indifeso), ridurrebbe il gioco allo stesso scenario di N = 2, in cui nessuno dei leoni rimanenti tenterà di consumare leone appena indifeso. Quindi il leone più vicino all'agnello reale, mangia e tre leoni rimangono sull'isola senza tentare di uccidersi a vicenda.

E per N = 4, se uno qualsiasi dei leoni mangia l'agnello, ridurrebbe il gioco allo scenario N = 3, il che significherebbe che il leone che ha mangiato l'agnello finirà per essere mangiato da solo. Poiché nessuno dei leoni vuole che ciò accada, lascia l'agnello da solo.

The ConversationIn sostanza, l'esito del gioco è deciso dall'azione del leone più vicino all'agnello. Per ogni intero N, il leone si rende conto che mangiare l'agnello ridurrebbe il gioco al caso di N-1. Se il caso N-1 risulta nella sopravvivenza dell'agnello, il leone più vicino lo mangia. Altrimenti, tutti i leoni lasciano vivere l'agnello. Quindi, seguendo sempre la logica del caso base, possiamo concludere che l'agnello sarà sempre mangiato quando N è un numero dispari e sopravviverà quando N è un numero pari.

Circa l'autore

Amirlan Seksenbayev, PhD Candidato in Scienze matematiche, Probabilità e Applicazioni, Queen Mary University di Londra

Questo articolo è stato pubblicato in origine The Conversation. Leggi il articolo originale.

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